Teano

Poco sabemos de Pitágoras y los pitagóricos, debido a su afán por ocultar sus descubrimientos. En muchos casos no sabemos a quién atribuir los logros que alcanzaron, así que sobre Teano no hay documentación muy fiable.

Sabemos que, aunque pertenecía a una comunidad muy conservadora, se aceptaban a las mujeres como miembros de la comunidad con los mismos derechos y deberes que los hombres. En la Vida de Pitágoras de Giamblico hay un listado de estudiantes de la escuela pitagórica en la que figuran 17 mujeres, por lo que vamos a personalizar en Teano a todas aquellas que hicieron matemáticas con Pitágoras.

Teano era hija del físico Brontino; fue discípula de Pitágoras y se casó con él a pesar de la diferencia de edad (unos 30 años). De hecho, en algunos escritos aparece como hija de Pitágoras. A la muerte de Pitágoras tomó las riendas de la escuela pitagórica con la ayuda de sus hijas Damo, María y Arignote. Se le atribuyen los siguientes escritos:

• Vida de Pitágoras
• Cosmología
• Teorema de la proporción aurea
• Teoría de números
• Construcción del universo
• Sobre la virtud

Veamos lo que dice Diógenes Laercio sobre Teano:

… Y Pitágoras tenía una esposa , llamada Teano, hija de Brotino Crotoniata. Pero algunos dicen que ella era la esposa de Brotino, y sólo alumna de Pitágoras. Y ella tenía una hija llamada Damo, mencionada por Lysis en su carta a Hiparco, donde dice de Pitágoras “Y muchos dicen que filosofas en público, como solía hacer Pitágoras; quien, cuando le confió sus Comentarios a Damo, su hija, le encargó que no lo divulgara a nadie que no fuera de la casa. Y ella, aunque podría haber vendido sus discursos por mucho dinero, no lo haría, porque su voto de pobreza y obediencia a su padre valía más que el oro.[…] ningún escrito dejó Telauges; pero quedan algunos de su madre Teano”.

También se menciona a Teano en este precioso epigrama de Sócrates (no el filósofo) que se conserva en la Antología Palatina:

- Dime, retoño predilecto de las Musas, Pitágoras ilustre, ¿cuántos cerca de ti descienden a competir en la asamblea filosófica, cosechando grandes éxitos?

- Escucha Polícrates: la mitad de ellos se dedica a fondo a fascinantes problemas de cálculo; un cuarto reflexiona sobre la naturaleza inmortal; un séptimo vive en total silencio y en un eterno diálogo interno; tres son mujeres, entre las que sobresale Teano. Esos son los profetas de las Musas de la Pieira de las cuales son guías.”

No es muy difícil averiguar el número de estudiantes ¿verdad?

Para saber más…

La razón áurea

El símbolo pitagórico era el pentagrama: la estrella de cinco puntas que se forma uniendo los vértices de un pentágono regular dejando uno en medio.

Pues bien, si dividimos la longitud de la diagonal entre la longitud del lado sale siempre el mismo número. Este número es conocido como la razón áurea, la divina proporción o el número de oro.

Este número se representa con la letra griega (phi) parece que en homenaje al escultor Fidias que la utilizó para la proporción de sus estatuas.

Para ampliar nuestros conocimientos sobre la Razón Áurea, te invito a ver al Pato Donald intentando entender qué es eso de la proporción divina y si él cumple esta proporción. ¿Crees que será así?

Si tienes interés en saber cómo se calcula phi, mira este vídeo y verás cómo usando ecuaciones

Podemos aprender a dibujar segmentos, rectángulos y espirales áureas desde esta página. ¡Inténtalo!, es sencillo.

Bueno, hemos hablado mucho de la proporción áurea y su relación con los cánones de belleza (su utilización en el arte occidental, en la arquitectura,…) Pero no es la única proporción que se ha utilizado para estas manifestaciones humanas. ¿Sabías que existe una proporción llamada “Proporción Cordobesa” que se ha utilizado en grandes obras arquitectónicas? ¿Qué obra muy conocida crees que la usa?

Sophie Germain

Sophie Germain es un ejemplo de autoaprendizaje y tenacidad; tuvo que presentar tres veces su trabajo a la Academia de La Ciencia de París para que fuera reconocido con la Medalla de Oro, pero nunca se rindió.

Nació en París el 1 de abril de 1776. Su padre, diputado de la Asamblea, disponía de una gran biblioteca a la que ella sacó gran provecho; desde los 13 años leía toda la tarde y al anochecer simulaba acostarse para luego continuar su lectura. Aprendió latín para poder leer a Newton y a Euler. Al enterarse sus padres de sus estudios científicos pusieron el grito en el cielo: la dejaron sin luz y calefacción para que no pudiera seguir leyendo por la noche, pero ella escondía una vela para continuar estudiando envuelta en una manta. El día que la encontraron dormida rodeada de cálculos matemáticos comprendieron que no conseguirían disuadirla y, aunque le permitieron que siguiera estudiando, jamás tuvo su apoyo; pensaban que una científica jamás podría casarse.

Las mujeres no han podido estudiar en la Escuela Politécnica de París hasta 1972 pero eso no impidió que Sophie tuviera acceso a las enseñanzas de Lagrange. Consiguió sus apuntes a través de un antiguo alumno amigo de la familia, Antoine-Auguste Le Blanc, y llegó a presentarle un trabajo firmado con ese seudónimo. Había tal brillantez en sus reflexiones que Lagrange quiso conocerle. A pesar de su sorpresa al encontrarse ante una mujer siguió reconociendo su valía y se convirtió en su profesor, con lo que logró entrar en las tertulias científicas.

No fue la única vez que utilizo el seudónimo de Le Blanc, también lo hizo para cartearse con Gauss después de leer su obra Disquisiciones Aritméticas. Esa obra despertó su pasión por la teoría de números, volcándose con la conjetura de Fermat y consiguiendo el mayor avance desde hacía dos siglos en su resolución con el Teorema de Germain. Cuando Napoleón invade Prusia, Germain intercede por Gauss ante un general amigo suyo para que le protegiera. Cuando Gauss se entera que su protectora es una tal Sophie se extraña y ella le escribe a Gauss una carta en la que admitía su condición femenina; a lo que Gauss contestó lo siguiente:

Pero cómo describirte mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Sr. Le Blanc se metamorfosea […] cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior.

Nunca podremos saber hasta donde hubiera llegado Germain con una educación matemática reglada; pero su genialidad y tenacidad queda patente en su participación en el concurso de la Academia.

En 1809, la Academia de las Ciencias de París convoca un premio extraordinario para aquella persona que justificara el comportamiento de las partículas cuando son sometidas a una vibración. El reto era tan duro que sólo Sophie presentó un trabajo (1811) y no ganó el premio al faltarle rigor (sin duda por lo errático de su formación). Aún así, su ensayo dio nuevas pautas a la investigación y se amplió el plazo del premio dos años más. Allí estuvo de nuevo Sophie con su Mémoire sur les Vibrations des Surfaces Élastiques y de nuevo quedó el premio desierto, aunque esta vez tuvieron que dar una mención honorífica a su trabajo. No se rindió: estudió, corrigió, revisó y por fin, en 1815, la Academia le concedió la medalla de oro.

Maria-Sophie Germain murió de cáncer de mama en París el 27 de Junio de 1831 sin poder disfrutar de la posición que Gauss le había conseguido en la Universidad de Göttingen. No puedo menos que creer que de haber sido su nombre realmente Antoine-Auguste Le Blanc hubieran escrito en su partida de defunción matemático y científico, pero Sophie Germain figura como rentista.

Los primos de Germain

Uno de los campos que más apasionó a Sophie fue la teoría de Números. No es de extrañar, es fascinante que enunciados tremendamente simples permanezcan sin resolverse durante siglos.

Germain se volcó en tratar de resolver el Último Teorema de Fermat: “no existen números enteros que cumplan que xn+yn=zn si n es mayor que dos”. Para n=2 sí que los hay, todos los lados de los triángulos rectángulos lo cumplen (teorema de Pitágoras). Pero no hay, por más que busquemos, números enteros que lo cumplan para n = 3, 4, 5, …

Sophie se sumergió en la demostración durante muchos años. Cuando intuyó que había hecho un gran avance, no tenía a nadie con quien poner en claro sus ideas y, con sólo 20 años, decidió escribir al más grande de la época en Teoría de Números: Gauss. Los escritos de Germain, con el seudónimo de Le Blanc, le impresionaron: buscaba soluciones generales, no para potencias concretas. En su carta a Gauss trataba sobre toda una colección de potencias: los primos de Germain.

Un número es primo si sólo puede dividirse de forma exacta entre sí mismo y la unidad. Un primo es de Germain si el siguiente de su doble también es primo.

Veamos los primeros:

• 2 -> 2·2+1=5 (primo) -> 2 es primo de Germain
• 3 -> 2·3+1=7 (primo) -> 3 es primo de Germain
• 5 -> 2·5+1=11 (primo) -> 5 es primo de Germain
• 7 -> 2·7+1=15 (no primo) -> 7 no es primo de Germain
• 11 -> 2·11+1=23 (primo) -> 11 es primo de Germain

Es fácil comprobar que el siguiente primo de Germain es el 23, ¿podrías hacerlo?

Sofía Vasilyevna Kovalevskaya

Cuando en la facultad estudié el teorema de Cauchy-Kovalevskaya sobre ecuaciones en derivadas parciales, alguien me contó que Kovalevskaya no era autora del teorema, que fue un regalo de amor de Weierstrass. En su momento no sólo me lo creí, sino que encima me pareció romántico. Ahora veo ese comentario como la falsa deducción que seguramente vivió Sofía por ser guapa, inteligente… y mujer. Aún hoy en día he escuchado a licenciados en matemáticas achacar a su belleza el hecho de que no haya premio Nobel de Matemáticas.

Siendo muy niña escuchaba hablar de matemáticas a su tío. Según cuenta ella misma en su autobiografía:

No entendía el significado de los conceptos, pero actuaban sobre mi imaginación, inspirándome un respeto por las matemáticas como una ciencia excitante y misteriosa que abría las puertas a sus iniciados a un mundo de maravillas, inaccesible al resto de los mortales.

Cuando tenía 11 años su padre empapeló su habitación con los apuntes de un curso de Cálculo Diferencial e Integral: pudo visualizar las maravillas que contaba su tío y así relegó todos sus estudios por el de Cálculo, lo que obligó a su padre a quitarle su profesor de matemáticas, aunque ella siguió estudiando por las noches. Un día el profesor Tyrtov regaló a su familia su libro de Física y Sofía lo devoró, pero no entendía las fórmulas trigonométricas y las dedujo. Tyrtov convenció a sus padres para que la permitieran volver a estudiar.

Pero Sofía no podía acceder a la enseñanza reglada: la universidad rusa estaba prohibida para las mujeres y no podía salir del hogar paterno sin autorización paterna, así que para poder salir de Rusia se casó con el paleontólogo Vladimir Kovalevski. Estudió en Heidelberg como oyente: sólo podía asistir a las clases si el profesor lo autorizara.

En 1871 se fue a Berlín para estudiar con Weierstrass, un hombre de 50 años que, al recibir la petición de Sofía, le puso una serie de problemas que tenía preparados para sus alumnos más avanzados. Pensaba que era una forma diplomática de librarse de esa mujer. Al cabo de una semana le devolvió todos los problemas hermosa y originalmente resueltos. A partir de ese momento Weierstrass fue su mayor apoyo.

Durante la etapa de Berlín realizó tres trabajos de investigación: “Sobre la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, Suplementos y observaciones a las investigaciones de Laplace sobre la forma de los anillos de Saturno y sobre la reducción de una determinada clase de integrales abelianas de tercer orden a las integrales elípticas”. Uno solo hubiera valido un doctorado, pero Weierstrass no consiguió que Berlín lo apoyara y Sofía defendió sus trabajos en Göttingen, consiguiendo el doctorado summa cum laude.

Doctora… pero mujer. Imposible dar clases. Volvió a Rusia con su marido y su familia y pidió permiso para presentarse a una prueba para impartir docencia, siendo rechazada. Eso unido a la muerte de su padre hizo que Sofía tirara la toalla matemática durante seis largos años, en los que tuvo a su hija y se separó definitivamente de su marido. En 1882 volvió a la carga: realizó estudios sobre la refracción de la luz y con el apoyo de Mittag-Leffl er consiguió un puesto no remunerado en la universidad de Estocolmo; el único salario que recibía se lo pagaban sus alumnos mediante colecta. Por fin, en 1889 consiguió ser profesora de pleno derecho.

Muchos consideran la estancia sueca de Sofía como su etapa más fructífera: fue editora del Acta Matemática y consiguió el premio Bordin de la Academia de las Ciencias de Francia con su trabajo Mémoire sur un cas particulier du problème de le rotation d’un corps pesant autour d’un point fixe, où l’intégration s’effectue à l’aide des fonctions ultraelliptiques du temps. Este premio era de 3.000 francos, pero se incrementó a 5.000 por la extraordinaria calidad del estudio. También ganó un premio de 1.500 coronas de la Academia Sueca de las Ciencias en 1889 y, por iniciativa de Chebychef, la Academia Imperial de las Ciencias cambió sus leyes para admitir a Sofía. Cuando por fi n iba a impartir clases con pleno derecho, una gripe derivó en neumonía y murió con tan solo 41 años.

¿Qué es una ecuación diferencial?

En una ecuación funcional, el resultado que desconocemos no es un número, es una función. Como las ecuaciones habituales, pueden tener una o varias incógnitas.

Por ejemplo, una ecuación funcional sencilla podría ser f(x)+2f(x)-x=3. Se puede resolver como resolvemos las ecuaciones sencillas, sólo hay que tener en cuenta que f(x) es la incógnita y x es la variable que tiene la función.

Una ecuación diferencial es una ecuación funcional en la que aparece la derivada de la función. En términos sencillos, la derivada de una función es otra función que indica cómo cambia la que teníamos; es decir, si aumenta o si disminuye y a qué velocidad. Se suele representar por f´(x). Vamos a ver un ejemplo con la gráfica de f(x)=x Está claro que la función crece, el cambio es positivo (la derivada será positiva) pero ¿cambia la velocidad del cambio? No, cuando avanzamos un paso a la derecha subimos uno. El cambio es siempre así, constante. Por lo tanto la derivada será una función constante (horizontal) y positiva ( por encima del eje de las X ).

Para saber más…

Sobre su vida

Si te ha parecido interesante la vida y obra de Sofía, no dejes de visitar el siguiente artículo sobre ella

• Sofía Kovalevskaya
  

Sobre homenajes a ella

¿Sabías que se han dedicado sellos a esta fantástica mujer? Aquí podrás ver uno de ellos de la serie “análisis matemático“. Además de sellos, se ha dedicado una moneda que puedes ver en la imagen siguiente junto con otro de los sellos de ella.

Sobre Saturno

Como se puede leer en su biografía, escribió sobre la configuración de los anillos de Saturno, probablemente el más bello de los planetas vistos desde el telescopio, pero ¿tú lo has visto? A continuación te enlazamos con vídeos, animaciones e imágenes de este planeta para que puedas comprender de primera mano la atracción de muchos hacia él.

Aproximación de una sonda espacial a Saturno (fuente: NASA)

Dos años en Saturno. Montaje de la NASA con fotografías de Saturno, sus anillos y sus satélites recogidas con la sonda espacial Cassini.

Sofía Alexandrovna Neimark Janovskaja

Sofía Neimark nació en el seno de una familia judía polaca, en un pueblecito que ahora es territorio bielorruso, donde la mayoría de la población era de esa raza. Cuando tenía 9 años su familia se trasladó a Odessa, donde estudió con Timchenko, relevante historiador matemático. A partir de ese momento se entusiasma con las Matemáticas y con su historia. También ingresa en la Cruz Roja, atendiendo a los presos políticos. Podríamos pensar que es en esa época cuando empiezan sus inquietudes sociales y políticas.

En 1915 ingresa en el instituto femenino de Odessa, dependiente de la universidad donde, de la mano de Shatunovsky, se aficiona por la Lógica Matemática. Pero aparca sus estudios cuando estalla la Revolución Rusa de 1917 y se vuelca en el partido comunista: primero en la clandestinidad y luego como editora del periódico Kommunist en Odessa.

En 1923 retomó sus estudios ocupándose de seminarios en la Universidad Estatal de Moscú, donde se doctora en 1935. En ese mismo año conoce al matemático y filósofo Wittgenstein.

Durante la segunda guerra mundial tuvo que huir de Moscú, regresando a su universidad en 1943 como Directora del Departamento de Lógica, impulsando fuertemente el desarrollo de esa disciplina en la Unión Soviética.

La historia de las matemáticas fue otro tema que trató Janovskaja e hizo diversas publicaciones. (Geometría de Descartes, Matemáticas Egipcias, Paradoja de Zenón de Elea…)

Recibió la orden de Lenin en 1951.

La paradoja de Zenón

Zenón de Alejandría presentó una serie de paradojas para desmontar las teorías de Aristóteles. La más conocida es la de Aquiles y la tortuga.

Aquiles, el de los pies ligeros, es el corredor más veloz de toda Grecia. Y la tortuga… bueno, es una tortuga. Lenta. Ceremoniosa. Pesada.

Arreglan correr una carrera. Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga, por lo que decide darle diez metros de ventaja.

Empiezan. Aquiles corre esos diez metros, pero en ese tiempo la tortuga corre un metro. Aquiles corre ese metro y la tortuga, diez veces más lenta, corre un decímetro. Entonces Aquiles corre ese decímetro, pero la tortuga corre un centímetro. Cuando Aquiles corre ese centímetro, la tortuga corre la décima parte de un centímetro. Y así infinitamente.

Aquiles, el de los pies ligeros, jamás podría alcanzar a la tortuga, aunque la carrera durara por siempre.

Para resolver la paradoja hacen falta ciertos conocimientos de cinemática y tener claro que, cuando jugamos con el infinito, no vale el mismo razonamiento que cuando estamos en el mundo finito. Vamos a resolver una paradoja más simple. Supongamos que Aquiles recorre la mitad del camino, luego la mitad de lo que le queda, luego la otra mitad y así sucesivamente. Nunca llegará a su destino porque siempre quedará una mitad de recorrer.

Pero echemos mano de lo que sabemos de las progresiones: si el camino mide 1, al principio recorre ½, luego la mitad de ½, que es (½)²

Cuando lleve n mitades, recorrerá (½)ⁿ

¿Cuánto llevará recorrido? La suma de todas las mitades

½ + (½)² + —— + (½)ⁿ

Tenemos una progresión geométrica de razón ½. La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es

Si cambias r por ½ y el primer término también, verás que Aquiles ha recorrido el camino.

Juegos de lógica

Como has leído en su biografía, Sofía fue Directora del Departamento de Lógica e impulsó el desarrollo de esta disciplina en la Unión Soviética.

Te proponemos los siguientes juegos en homenaje a ella.

• Descubrir el número secreto.
• Una versión con colores del juego anterior llamada Mastermind.
• EL juego de los tres cofres.

Mary Lucy Cartwright

Mary Lucy nació en Aynho, Inglaterra, el 17 de diciembre de 1900. Durante sus años escolares se sentía más atraída por la Historia que por otras materias, pero le resultaba complicado tener que aprenderse de memoria las largas listas de acontecimientos históricos, que era el método usual de aprender historia en aquellos tiempos. Ésta fue una de las causas de que decidiera, en octubre de 1919, ingresar en la Universidad de St. Hugh, en Oxford, para estudiar Matemáticas, con ella eran cinco las mujeres en toda la facultad. En esta época las clases estaban atestadas de estudiantes ya que, después de la Primera Guerra Mundial, regresaron a las aulas los muchachos que volvían de la guerra. Mary tuvo muchas veces que tomar apuntes sobre sus rodillas, sentada en un pasillo, por falta de espacio en las aulas. Su decisión de estudiar Matemáticas no disminuyó su interés por la Historia, como se refleja en muchos de sus escritos matemáticos que incluyen las perspectivas históricas que les conciernen y agregan así una dimensión muy interesante a su trabajo.

Se graduó en Oxford en 1923 y enseñó matemáticas durante cuatro años en las escuelas de Alicia Ottley en Worcester, primero, y en la de la abadía de Wycombe en Buckinghamshire, después, antes de volver a la Universidad en 1928 para doctorarse bajo la supervisión de G.H. Hardy. En 1930 obtuvo una beca de investigación en la Universidad de Girton, en Cambridge. Allí conoció a Littlewood y solucionó un problema planteado por él.

Su “Teorema de Cartwright”, que trata sobre máximos de funciones, recurre a métodos que harán avanzar mucho su investigación sobre funciones y en especial sobre funciones que dan lugar a fractales. Trabajó con Littlewood en ecuaciones diferenciales que sirvieron como modelo para el desarrollo de la radio y el radar. Sus investigaciones influenciaron la teoría moderna de sistemas dinámicos.

En 1947 fue la primera mujer matemática nombrada miembro de la Real Sociedad. También fue la primera mujer presidente de la Sociedad Matemática de Londres en 1961. En 1963 fue la primera mujer que obtenía la medalla Sylvester, que se concede cada tres años al mérito matemático desde 1901 y que habían conseguido con anterioridad matemáticos de la talla de Poincaré (1901), Cantor (1904), Russell (1934) o Newman (1958). En 1968 recibe la medalla Morgan y en 1969 la máxima distinción británica; la reina la nombra Comandante del Imperio Británico.

Sus más allegados la describen como una persona con un gran sentido del humor que tenía un don que la hacía llegar al núcleo de una cuestión y ver el punto importante, en matemáticas y en asuntos humanos.

Murió en Cambridge, Inglaterra, el 3 de abril de 1998.

Para saber más…

Hemos dicho que los trabajos de Lucy hicieron avanzar el conocimiento sobre funciones que dan lugar a fractales, pero ¿dónde podemos encontrar fractales u objetos de dimensión fractal?

Empecemos con una cita de B. Mandelbrot:

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas de costa no son círculos y la corteza no es lisa ni la luz viaja en línea recta.

Observa la siguiente imagen. Si ampliásemos lo suficiente una hoja del helecho parecería una rama.

En los años 70 Mandelbrot utiliza por primera vez el término fractal para referirse a estructuras geométricas que parecen reproducirse de modo similar a diferentes escalas.

En la Naturaleza los fractales muestran la forma de crecer rellenando; líneas que crecen rellenando superficies, superficies que crecen rellenando volumen: las venas y arterias nos rellenan por dentro y las ramas de los árboles tratan de rellenar el espacio que ocupa la copa del árbol.

Podemos ver el vídeo de una entrevista a Mandelbrot realizada por Eduardo Punset (programa de televisión “Redes“) en la que habla sobre fractalidad y este reportaje muy interesante sobre “Fractales en la Naturaleza” también del programa “Redes” de Eduardo Punset, emitidos ambos en agosto de 2007.

En la actualidad los fractales son utilizados en múltiples campos: en el estudio de la propagación de incendios, en el estudio del ruido ambiente, en el diseño de antenas para teléfonos móviles, en medicina… Pero, sin duda, su aplicación más conocida es en el mundo del arte. Gracias al desarrollo de software que utiliza algoritmos fractales se crean hermosos efectos visuales que son ampliamente utilizados por la industria cinematográfica para producir, entre otros, paisajes fabulosos.

A continuación presentamos una muestra de imágenes fractales generadas por ordenador (pincha en cada una de ellas para agrandar)

Mary Fairfax Somerville

Mary Fairfax Somerville es otro ejemplo, como el de Germain, de mujer autodidacta. Aunque al principio tuvo que ingeniárselas sola para aprender cosas tan básicas como la lectura comprensiva y su capacidad intelectual podría haber quedado oculta por su docilidad, una serie de casualidades y un grupo de personas que creyeron en ella hicieron que su genio saliera a la luz.

Nació el 26 de diciembre de 1780 en Escocia. Sus padres le dan una educación femenina: con aprender a leer basta y sobra, el resto de su tiempo a brillar en sociedad y a aprender costura, música y pintura. A escondidas, Mary devoraba todos los libros que caían en sus manos.

Y llega la primera casualidad. Su profesor de pintura, Nasmyth, enseñaba ciencia a los varones y le deja a Mary los Elementos de Euclides para que entendiera la perspectiva en la pintura. Pero ella lee mucho más allá: el rigor, la construcción de toda una maravillosa teoría a base de poquísimos axiomas y los grandiosos resultados la fascinan. Así que estudia y analiza el libro de Euclides con la ayuda del profesor de su hermano pequeño. Además examinaba con él pequeños divertimentos matemáticos que aparecían en revistas femeninas, lo que le permitió al tutor iniciarla en el estudio del álgebra.

Sus padres nunca apoyaron este interés en las matemáticas: ¿cómo iban a apoyar que se dedicara a una disciplina abstracta que, según su padre, lastimaría su tierna complexión femenina? Por lo tanto, los estudios de Mary permanecían ocultos; y no mejora la cosa cuando se casa en 1804 con Samuel Greig, que no acepta que su mujer estudie.

Segunda casualidad, Greig muere a los tres años de casarse, con lo que Mary vuelve con sus dos hijos a Edimburgo donde conoce a personas preocupadas por la ciencia y que creen en ella. Gracias a ellos lee a Newton y el Tratado de Mecánica Celeste de Laplace. También consigue una medalla de plata por resolver problemas de la revista Mathematical Repository.

En 1812 se casa con su primo William Somerville que, al contrario que su primer marido, es un apasionado de la ciencia y la apoya en sus estudios y logros. Por motivos laborales el matrimonio se establece en Londres y viajan a París, con lo que Mary conoce personalmente a los grandes matemáticos del continente. En 1834 publica La conexión de las Ciencias Físicas donde intuye que debe haber un planeta que altera la órbita de Urano (Neptuno). En 1838 se trasladan a Florencia por el deterioro de la salud de William. Allí sigue publicando, destacando Geografía Física, que ha sido libro de texto hasta el siglo pasado. Por esta obra fue nombrada miembro de la Sociedad Estadística y Geográfica Americana, de la Sociedad Geográfica Italiana y recibió la Medalla de Oro de la Real Sociedad Geográfica.

Quizá por los problemas que tuvo para poder estudiar, durante toda su vida (92 años) fue una defensora de los derechos de la mujer a la educación y al voto. Según cuenta su hija en su biografía siguió haciendo problemas matemáticos hasta su muerte porque “A veces encuentro dificultades, pero mi vieja tozudez persiste, y si no tengo éxito hoy, lo atacaré de nuevo mañana”.

Álgebra

¿Qué tipo de problemas entusiasmaron tanto a Mary como para llevarla a estudiar álgebra avanzada? Según cuenta Xaro Nomdedeu Moreno en su libro Mujeres, manzanas y matemáticas entretejidas, algunos como éste aparecían en la revista The Ladies Diary:

A una velada asistieron 20 personas. Mary bailó con 7 muchachos. Ada con 8, Jane con 9, y así hasta llegar a Evelyn, que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos había en la velada?

Llamamos x al número de chicas e y al número de chicos (por respetar los cromosomas)

• A una velada asistieron 20 personas → x+y = 20
• Mary bailó con 7 muchachos → 7
• Ada con 8 → 7+1
• Jane con 9 → 7+2

Si Evelyn bailó con todos los chicos, y cada chica iba aumentando en uno el número de chicos con los que bailaba y hay x-1 chicas sin contar con Evelyn:

• Evelyn, que bailó con todos ellos → 7+x-1 = x+6
• Pero claro, ahí están todos los chicos, por lo tanto → y = x+6

Ahí tenéis un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Vale, os tiene que salir 7 chicas y 13 chicos.

Julia Bowman Robinson

Julia fue la primera mujer miembro de la Academia de las Ciencias en E.E.U.U. Nació en Missouri el 8 de diciembre de 1915. Fue una niña enfermiza y con dificultades en el habla, que superaba con la ayuda de su hermana Constance (más tarde Constance Reid, conocida escritora sobre historia de las matemáticas). Pasó un año en cama a causa de unas fiebres reumáticas y tuvo que acabar la educación primaria en casa; en esta etapa se despierta su interés por las matemáticas, llegando a pasar toda una tarde calculando dígitos de la raíz de dos para comprobar que no había ley de recurrencia en ellos.

La secundaria sí la estudió en un instituto de San Diego, siendo la única chica en las clases de matemáticas y física. En esa época recibe la medalla Bausch and Lomb como mejor alumna de ciencias.

Después de graduarse empieza sus estudios para ser maestra de matemáticas. En septiembre de 1937 su padre Ralph Bowman se suicida al perder sus ahorros a causa del crack del 29. Ella y su hermana continúan sus estudios con la ayuda de su tía.

Es en esa época cuando lee el libro de Bell Hombres en las Matemáticas y decide trasladarse a la Universidad de California para estudiar matemáticas al máximo nivel. Estudia Teoría de Números con Robinson, casándose con él en 1941. Esto le va a suponer no poder continuar con su trabajo de profesora al estar prohibido que un matrimonio impartiera clases en el mismo departamento. Siempre era la mujer la que renunciaba, y lo mismo le pasó a Julia, que pasó a enseñar estadística.

En 1946 empieza su doctorado en Princeton bajo la supervisión de Tarski. De ella es la hipótesis de Robinson; básica para resolver el décimo problema de Hilbert. En su obra “Un método iteractivo de resolución de juegos”, demuestra un teorema de convergencia que está considerado como el más importante en la Teoría Elemental de Juegos.

En 1976 se convierte en la primera mujer miembro de la Academia Nacional de las Ciencias de Estados Unidos; también fue la primera mujer que presidió la Sociedad Matemática Americana aunque, como ella misma dijo, “lo que soy es matemática. Antes que ser recordada como la primera mujer que eso o aquello, preferiría ser recordada como cualquier matemática, simplemente por los teoremas que he demostrado y los problemas que he resuelto”.

En agosto de 1984 le diagnostican una leucemia, falleciendo el 30 de julio de 1985.

En homenaje a Julia

El juego de las 8 reinas

Como has leído en su historia, podemos considerar a Julia como “la reina de la Teoría de Juegos”, así que, proponemos el siguiente juego de estrategia.

La reina en un tablero de ajedrez se mueve en un número arbitrario de cuadrados en una dirección horizontal, vertical o diagonal. Te proponemos que empieces resolviendo este problema colocando cuatro reinas en un tablero 4 x 4 de forma que no haya dos reinas en la misma fila. Escribe en tu cuaderno de trabajo qué estrategia te ha llevado a la solución. ¿Es la solución única? Puedes utilizar esta aplicación para intentarlo.

Otros juegos en los que desarrolar estrategias

El aparcamiento.- debes sacar el coche del garaje en el menor número de intentos.

Blox.- eliminar bloques juntándolos. Desarrolla tu estrategia para superar cada nivel.

Grace Chisholm Young

Grace Chisholm era la hija menor de Anna Louisa Bell y Henry William Chisholm, importante miembro del gobierno inglés, lo que le permitió acceder a unos estudios normalmente negados a las mujeres. Se educó con institutrices hasta los 17 años, edad en la que aprobó el examen de acceso a la Universidad de Cambridge. En principio iba a estudiar medicina porque solía dedicarse a trabajos sociales con los pobres de Londres, pero su familia se opuso y decidió estudiar Matemáticas en el Girton College, donde recibe clases de William Young.

En 1892 se gradúa y decide trasladarse a Göttingen, capital de las Matemáticas y donde acababa empezar un curso en el que se permitía la matriculación femenina. Aunque años más tarde Klein defenderá el derecho de Emmy Noether a dar clases en la universidad, en ese momento, según cuenta Grace Chisholm:

… no acepta a ninguna mujer que no tenga hecho ya un buen trabajo y pueda demostrarlo […]. El punto de vista del Profesor Klein es moderado. Hay miembros de la Facultad aquí más decididamente a favor de la admisión de mujeres y otros que la desaprueban radicalmente.

Algo vio Klein en ella, pues le dirigió la tesis sobre Los grupos algebraicos en la trigonometría esférica, con la que consigue doctorarse en 1895.

Para saber más…

Los poliedros regulares

Grace opinaba que había que enseñar la geometría manipulando cuerpos geométricos en tres dimensiones. De estos cuerpos hay 5 y sólo 5 que cumplen unas determinadas propiedades:

• Convexos: si tomo dos puntos dentro de ellos, el segmento que los une también está dentro. Se puede saber colocando una hoja sobre cualquier cara: si todo el cuerpo queda en un lado de la hoja, es convexo.

• Sus caras son todas iguales: si son cuadrados, todas cuadrados; si son triángulos, todas triángulos.
• Cada cara es un polígono regular: todos sus lados son iguales.

Con estas condiciones sólo hay cinco figuras, que se llaman poliedros regulares o sólidos platónicos.

Para ampliar tus conocimientos sobre los sólidos platónicos, puedes visitar la web de Actividades Matemáticas dónde aprenderás por qué se llaman así, la historia de los intentos fallidos de Kepler por explicar los movimientos del sistema solar y la estructura del universo utilizando los 5 poliedros regulares,…

Si quieres ver muchos más poliedros no regulares y otros sólidos geométricos, puedes visitar la web de “Modelos de papel de poliedros“. En ella puedes bajarte el desarrollo plano de una gran cantidad de figuras para imprimirlas, recortarlas y pegarlas construyendo de esta manera los sólidos geométricos que más te gusten.

Podemos leer más sobre Grace en la web e intentar resolver el problema de la salamandra y la mosca.

Elena Lucrezia Cornaro Piscopia

Elena es la primera mujer de toda la historia que consigue doctorarse. De familia noble veneciana, nace el 5 de junio de 1646. El ser de noble cuna puede explicar que tuviera acceso a estudios normalmente negados a las mujeres, lo que permitió que uno de sus profesores percibiera el gran potencial de esa niña de 7 años que llegó a hablar con fluidez latín, griego, hebreo, español, francés y árabe. Estudió además música, gramática, matemáticas, filosofía y teología.

A los 14 años hace secretamente voto de castidad y evita a partir de ese momento cualquier intento paterno de casarla. Con 17 años llegó a ser una virtuosa del arpa, el clavicémbalo y el violín. Aunque era una personalidad reconocida como compositora y concertista no parece que eso le importara mucho; al igual que su paisana Agnesi, su mayor anhelo era dedicarse a la caridad.

Aunque estudiaba por el simple placer de aprender, su padre, procurador de San Marco, decidió que continuara sus estudios en la universidad de Padua. Italia estaba más avanzada que el resto de Europa y ya había mujeres que estudiaban ciencias y matemáticas en la universidad, pero Piscopia optó por el doctorado en teología, tropezando con la intransigencia de la iglesia que no podía concebir que una mujer enseñara a los monjes. Así que decide preparase el doctorado en filosofía.

Su examen de doctorado es legendario: iba a producirse en el salón de actos de la universidad, pero hubo tal afluencia de público que tuvo que defender su tesis sobre el Análisis y la Física de Aristóteles en la catedral. Su examen fue tan brillante que el 25 de junio de 1678 consiguió ser la primera mujer doctorada en el mundo; hay una vidriera en Vassar (U.S.A.) conmemorando este hecho.

Si bien dominó casi todas las ramas del saber, en la universidad de Padua enseñó a estudiantes de toda Europa matemáticas. Poco después decide ingresar en la orden benedictina y dedicarse a la caridad.

Muere, posiblemente de tuberculosis, el 26 de Julio de 1684. Está enterrada, según sus deseos, en el monasterio San Giustina de Padua. Su obra se publicó después de su muerte, en 1688 en Parma.

Resolución de la ecuación de tercer grado mediante poesía

No es de extrañar que Elena se dedicara a las matemáticas. En los dos siglos anteriores Italia había vivido con pasión esta ciencia: se puede decir que la resolución de ecuaciones era una historia de espías y traiciones.

Durante esos años los mejores matemáticos proponían problemas y competían para resolverlos. Muchos de ellos se resolvían mediante ecuaciones de tercer grado, pensaban que no existía ningún método general para resolverlas.

Y aquí empieza la novela negra. Los personajes son: Escisión del Ferro, Aníbal de la Nave, Antonio María del Fiore, Tartaglia, Cardano y Ferrari.

Escipión del Ferro encontró un método para resolver ciertos tipos de ecuaciones de tercer grado y se lo contó a su yerno Aníbal que se lo dijo a su amigo del Fiore. A la muerte de Aníbal, del Fiore lanza una serie de retos matemáticos que pueden resolverse con el método que sólo él conocía. Tartaglia acepta el reto y cada uno propone 30 problemas al otro que tienen que resolver en un plazo de unos 40 días. Tartaglia resolvió sus 30 problemas en menos de dos horas.

Cardano, en su ansia de conocer la fórmula, persigue a Tartaglia con amenazas y promesas de riquezas para que le diga su método secreto. Después de muchísima correspondencia, Tartaglia acepta ir a Milán y allí le recita a Cardano:

Cuando está el cubo con las cosas preso
y se iguala a algún número discreto
busca otros dos que difieran en eso.
Después tu harás esto que te espeto
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Después el resultado general
de sus lados cúbicos bien restados
te daría a ti la cosa principal.

Ada Byron, condesa de Lovelace

Nació el 10 de diciembre de 1815 en Piccadilly. Hija de Lord Byron y Annabella Milbanke (la princesa de los paralelogramos, según la llamaba Byron), nunca conoció a su padre, que abandonó Inglaterra después de divorciarse de su madre y murió en Grecia cuando ella tenía nueve años. Lord Byron nunca dejó de pensar en su hija y sus últimas palabras fueron para ella.

Para que no se dedicara a la poesía como su padre, Lady Byron la educó en el mundo científico, intentando eliminar cualquier inclinación de la niña hacia la literatura. Una de sus tutoras fue Mary Somerville, que le enseñó la parte humana de las matemáticas, también fue ella la que le habló de la máquina de cálculo que proyectaba Charles Babbage: la Máquina Analítica. A partir de ese momento empieza una relación epistolar con Babbage llena de sueños y entusiasmo para perfeccionar la máquina.

A los veinte años se casó con William King, conde de Lovelace, con el que tuvo tres hijos. Ocho años después tradujo un artículo de Menabrea sobre la máquina de Babbage, con comentarios personales que triplicaron la extensión del estudio original. Ese trabajo conjunto de Babbage, Menabrea y Ada se conoce como Los Papeles Menabrea, pero el nombre de Ada no fi gura en los mismos, ya que ocultó su condición femenina con las iniciales A. A. L. Si consideramos a Babbage el padre del hardware, Ada fue la madre del software. A ella se le atribuye la invención del concepto de subrutina.

A los treinta y siete años Ada enferma de un tumor. El láudano le aliviaba los dolores del cáncer, pero su madre le retiró todos los calmantes para que ganara el cielo con el sufrimiento. Sus escritos fueron destruidos por su madre. A pesar de no haber conocido a su padre, pidió ser enterrada junto a él, en Newstead (Inglaterra). Actualmente hay un lenguaje de programación con su nombre: el lenguaje Ada.

Para saber más…

Sobre su vida y obra

• Sobre la vida de Ada (publicado en El País el 28 de enero de 2008)
  
• La primera programadora (La Flecha, tu diario de ciencia y tecnología)

El juego de Ada Byron

Aunque no se relata en su biografía existe un solitario con fichas descubierto por Ada Byron y lleva su nombre. Si quieres aprender a jugarlo visita esta web en la que te explican cómo se juega.

Sobre programación

Una subrutina es un conjunto de instrucciones que permiten realizar una tarea específica dentro de un programa informático. Se utiliza, entre otras cosas, para realizar tareas repetitivas sin necesidad de duplicar el código. Por ejemplo, cuando generamos números de Fibonacci en un ordenador, utilizamos este concepto.

Pero, ¿qué son los números o sucesión de Fibonacci? Aquí podrás ver un vídeo en el que se aclara este concepto y su relación con la divina proporción o número áureo.

La primera formulación del ejemplo siguiente es la que dio lugar a la definición de sucesión de Fibonacci.

Tenemos una pareja de conejos, macho y hembra. en una granja donde gozan de mucho espacio y buenas condiciones de vida, eso sí, no pueden salir de su cercado. Los conejos tienen una camada macho-hembra a partir de su segundo mes de vida (en el primero no son fértiles aún). Se reproducen cada mes de la misma manera, teniendo un conejito y una conejita de la forma que muestra el dibujo….

¿Cuántas parejas de conejos habrá el 6º mes?, ¿y el 7º?, ¿y el 8º?

¿Podríamos ayudar a Fibonacci a averiguar cuántas parejas habrá al cabo de un año?

La exposición (II): La mujer, innovadora en la ciencia.

"Son todas las que están, pero no están todas las que son. Presentamos un caleidoscopio femenino-matemático con veinte de ellas, veinte matemáticas de diferentes épocas y creencias. Asomaos a ellas y girad con sus investigaciones que, como cristales multicolores formarán infinitas figuras cada una más bella que la otra. ¡Ojo! Puede pasaros como a nosotras y engancharos en sus vidas y en sus obras. Buscar en sus risas, tragedias, teoremas… es altamente adictivo."

Teresa Valdecantos Dema / Carmen Jalón Ranchal

La exposición homónima se exhibirá en nuestro centro entre los días 15 y 18 de noviembre de 2010. En este blog vamos a recoger los comentarios e ideas de nuestros alumnos generadas a partir del trabajo previo, la visita y el debate posterior centrado en el papel de la mujer en el avance científico y social, sus logros y, sobre todo, su grandes dificultades derivadas de su condición de mujer.
También vamos a profundizar en este blog en aspectos relacionados con los descubrimientos de estas fascinantes mujeres. Incluiremos enlaces al final de la vida de cada una de las mujeres seleccionadas para este espacio, que vendrán a complementar la exposición con elementos multimedia (vídeos, imágenes, enlaces, …) relacionados con la vida, obra, aplicaciones de los trabajos de éstas o con la obra de otros matemáticos.

La exposición (I): La mujer, innovadora en la ciencia.

El proyecto "La mujer, innovadora en la Ciencia" se puso en marcha con motivo del año de la Ciencia (2007) como una iniciativa de la Comisión de Mujeres Matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española, encargándose del desarrollo un equipo de trabajo integrado por Ainhoa Berciano (Universidad del País Vasco), Carmen Jalón (CEP Luisa Revuelta de Córdoba), Josefina Ling (Universidad de Santiago de Compostela), Marta Macho (Universidad del País Vasco), Mª Isabel Marrero (Universidad de La Laguna), Miguel Muñoz (Universidad Politécnica de Cataluña), Edith Padrón (Universidad de La Laguna), Narciso Román (Universidad Politécnica de Cataluña), Mónika Sánchez (IES Beatriz Galindo), Teresa Valdecantos (SIPFA Algeciras, Cádiz) y Elena Vázquez (Universidad de Santiago de Compostela). La muestra itinerante consta de 20 paneles (más uno de presentación) con la vida y obra de otras tantas mujeres de distintas épocas que desarrollaron su trabajo principalmente en el campo de las matemáticas. Cada uno de los cuales incluye además de una biografía de una mujer matemática que ha sido relevante en el desarrollo de la historia de la ciencia, una aplicación didáctica vinculada con su investigación.
Como material de apoyo a esta exposición se ha elaborado un libro de viajes donde el estudiante debe superar etapas respondiendo a ciertas preguntas relacionadas con estas mujeres y sellar su pasaporte, un juego de ordenador en donde se dan ciertas pistas para identificar a estas mujeres, un rompecabezas con el que deben identificarse las imágenes de estas matemáticas con algunas de sus proezas y veinte marcadores de libro en los que se incluyen en una cara algunos datos biográficos de ellas y en el reverso un problema matemático que se sugieren al lector para su resolución (las soluciones se encuentran en esta web). Adicionalmente se presenta también un folleto con trece entrevistas a mujeres matemáticas españolas actuales que trabajan en diferentes ámbitos laborales.
Este trabajo trata de resaltar el papel de la mujer a lo largo de la historia de la ciencia como elemento innovador y no como una mera espectadora del desarrollo científico. Con todo ello se pretende acercar a las nuevas generaciones a la vida y obra de estas heroínas de la matemática, poniendo de manifiesto el papel fundamental que tuvieron sus aportaciones en el desarrollo de la historia de la ciencia, no siempre reconocido, todo ello enmarcado en un propósito más generalista de fomentar vocaciones científicas entre los más jóvenes.

La regla de Ruffini